已知向量m＝(cosA，sinA)，n＝(2，−1)，且m•n＝0． （1）求tanA的值； （2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

题目

已知向量

m

＝(cosA，sinA)，

n

＝(2，−1)，且

m

•

n

＝0．
（1）求tanA的值；
（2）求函数f（x）=cos2x+tanAsinx（x∈R）的值域．

答案

（1）由题意得

m

•

n

＝2cosA−sinA＝0，（2分）
因为cosA≠0，所以tanA=2．（4分）
（2）由（1）知tanA=2得f(x)＝cos2x+2sinx＝1−2sin2x+2sinx＝−2(sinx−

1

2

)2+

3

2

．（6分）
因为x∈R，所以sinx∈[-1，1]．（7分）
当sinx＝

1

2

时，f（x）有最大值

3

2

；（9分）
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3；（11分）
故所求函数f（x）的值域是[−3，

3

2

]．（12分）

（1）根据

m

•

n

=0，利用向量的基本运算求得得

m

•

n

＝2cosA−sinA＝0，利用tanA=

sinA

cosA

求得答案；
（2）首先对函数f（x）化简，然后根据sinx∈[-1，1]，可知当sinx＝

1

2

时，f（x）有最大值；当sinx=-1时，f（x）有最小值，求出函数的值域．

本题考点：三角函数的恒等变换及化简求值；数量积的坐标表达式；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查向量的数量积，三角函数的二倍角，函数的值域，做题时注意正弦函数的值域．属于基础题．