已知函数f(x)=x2+a/x(x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
题目
答案
(1)当a=0时,f(x)=x
2
对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),有f(-x)=(-x)
2=x
2=f(x),
∴f(x)为偶函数.
当a≠0时,f(x)=x
2+
(x≠0,常数a∈R),
取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0,
f(-1)-f(1)=-2a≠0,
∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)设2≤x
1<x
2,
f(x
1)-f(x
2)=
x21+−x22−=
[x
1x
2(x
1+x
2)-a],
要使函数f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,
必须f(x
1)-f(x
2)<0恒成立.
∵x
1-x
2<0,x
1x
2>4,
即a<x
1x
2(x
1+x
2)恒成立.
又∵x
1+x
2>4,∴x
1x
2(x
1+x
2)>16,
∴a的取值范围是(-∞,16].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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