急,计算题!设y=y（x） 由方程e^y+xy=e 确定,求y`（0）,y``（0）

题目

急,计算题!设y=y（x） 由方程e^y+xy=e 确定,求y`（0）,y``（0）

答案

y=y(x)由方程e^y+xy=e确定
两边同时求导得e^y*y'+y+x*y'=0
所以y'=-y/(e^y+x)
所以y''=[-y/(e^y+x)]'=[-y'*(e^y+x)-(-y)*(e^y*y'+1)]/(e^y+x)^2=[-y'*e^y+x*y'+y*y'*e^y+y]/(e^y+x)^2
因为x=0时e^y+0*y=e
所以e^y=e
即y(0)=1
所以y'(0)=-y/(e^y+x)=-1/(e^1+0)=-1/e
y''(0)=[-y'*e^y+x*y'+y*y'*e^y+y]/(e^y+x)^2=[-(-1/e)*e^1+0*(-1/e)+1*(-1/e)*e^1+1]/(e^1+0)^2=1/e^2