求证y=x*sinx 不是周期函数

题目

求证y=x*sinx 不是周期函数

答案

设y=x*sinx是周期函数,且周期是a,则有：
x*sinx=(x+a)sin(x+a)=(x-a)sin(x-a)
由后面的式子,化简得：
x(sin(x+a)-sin(x-a))=-a(sin(x-a)+sin(x+a))
2xcosxsina=-2asinxcosa
即 xcosx/sinx=-acosa/sina
右边是一定值,左是关于x的函数,不可能是一定值.
所以原假设不成立,却a不可能是y=x*sinx的周期,原函数不可能是周期函数.