8立方用多大的储罐

8立方用多大的储罐

题目
8立方用多大的储罐
要求用圆形的储罐
答案
为了使圆柱形储罐最省料:直径=高度=2.168m, 
设圆柱体的储罐体积为V,半径为r,高度为h,材料表面积为A.
A=2πr^2+2πrh   (1)
V=πhr^2           (2)
r>0,h>0
接下来就是求A的极值
由(2)式得出h=V/πr^2     (3)
代入(1)式得:
A=2πr^2+2V/r;
A对r求导数
A'=4πr-2V/r^2
令A'=0
得出r=(V/2π)^1/3 (4)
(4)代入(3)得到h=2(V/π)^1/3 =2r
由于在定义域内,A只有一个驻点,因此,h=2r时,A为最小值.
 半径r=(V/2π)^1/3 =(8/2π)^1/3 =1.084(m)
所以直径等于高度时,圆柱形储罐最省料!
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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