如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．

题目

如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．

答案

证明：连接AD、DO；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∵E是AC的中点，
∴DE=AE（直角三角形中斜边中线等于斜边一半），
∴∠EAD=∠EDA．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=∠EAD+∠DAO=∠CAB=90°．
∴OD⊥DE．
DE是⊙O的切线．