已知二次函数y=-2x^2+(m+3)x-m+1.（1）证明：对任意实数m,函数的图像与x轴都有两个交点；

题目

已知二次函数y=-2x^2+(m+3)x-m+1.（1）证明：对任意实数m,函数的图像与x轴都有两个交点；
(2)设抛物线与x轴的两个交点为A、B,求出m的值,使线段|AB|的长度最短.

答案

配方得y=-2(x+(m+3)/4)^2+(m-1)^2/8+2,由该式知抛物线开口向下,最高点纵坐标大于零,所以2个交点.
所以2个交点的距离的平方为|(m-1)^2/4+4|,当m=1时,距离最短等于2.