如图,正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC),连接AE,取线段AE的中点M. 证明:FM⊥MD,且FM=MD.
题目
如图,正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC),连接AE,取线段AE的中点M.
证明:FM⊥MD,且FM=MD.
答案
证明:如图,过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H,连接DF、FN.
∴∠ADC=∠H,∠3=∠4.
∵AM=ME,∠1=∠2,
∴△AMD≌△EMN
∴DM=NM,AD=EN.
∵ABCD和CGEF是正方形,
∴AD=DC,FC=FE,∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°,
∠5=∠6=90°-∠NEG=∠NEF,DC=AD=NE.
又∵∠H=90°,
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°
∴∠DCF=∠5=∠NEF
∵FC=FE,
∴△DCF≌△NEF.
∴FD=FN,∠DFC=∠NFE.
∵∠CFE=90°,
∴∠DFN=90°,即△DFN为等腰直角三角形.
又DM=MN,
∴FM⊥MD,MF=MD.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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