将范德蒙德行列式旋转180度 它的值还是等于原范德蒙德行列式?

题目

将范德蒙德行列式旋转180度 它的值还是等于原范德蒙德行列式?

答案

这与行列式的阶数n有关.
将第n行依次与上一行交换,交换n-1次到第一行
同样,将新的第n行(原n-1行)依次与上一行交换,交换n-2次到第二行
...
共交换 (n-1)+(n-2)+...+1 = n(n-1)/2 次.
所以行列式等于 (-1)^[n(n-1)/2] 乘原行列式.