已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．

题目

已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax²+2bx+c=0必有实数根．

答案

证明：由已知得2b=pc+ra，
所以△=（2b）²-4ac=（pc+ra）²-4ac
=p²c²+2pcra+r²a²-4ac
=p²c²-2pcra+r²a²+4pcra-4ac
=（pc-ra）²+4ac（pr-1）．
由已知pr-1＞0，又（pc-ra）²≥0，
所以当ac≥0时，△≥0；
当ac＜0时，也有△=（2b）²-4ac＞0．
综上，总有△≥0，
故原方程必有实数根．