如图11,抛物线与x轴交于A,B两点,直线y=kx-1与抛物线交于A,C两点,其中A（-1,0）,B（3,0）,点C的纵坐为-3

题目

如图11,抛物线与x轴交于A,B两点,直线y=kx-1与抛物线交于A,C两点,其中A（-1,0）,B（3,0）,点C的纵坐为-3

答案

(1)由题目已知,
可以列抛物线方程y=ax²＋bx＋c,把A点和B点坐标带入到抛物线方程中,可以求出a,b,c的关系
b＝-2a,c＝-3a
因为直线y=kx-1与抛物线交于A点,把A点坐标带入,求出k＝-1
(2)接下来求抛物线和直线的交点坐标,
列方程组y＝-x-1,y＝ax²-2ax-3a,联立求解可得c点坐标为(-1＋(4a-1)/a,(1-4a)/a)因为题目已知c点纵坐标为-3 所以(1-4a)/a＝-3,带入求解a＝1,所以 抛物线为y＝x²-2x-3,直线为y=-x-1,c点坐标为(2,-3),
(3)若以AC为底边的等腰三角形存在,那么一定存在一条直线垂直于直线AC,而且平分AC线段,而且相交于抛物线于两点D,E.令这条直线为DE
直线DE垂直于AC,所以k′＝1,而且平分线段AC,所以经过线段AC的中点(0.5,-1.5),所以直线DE可求,为y＝x-2,与抛物线y＝x²-2x-3联立求解,两点坐标为(3＋√13)/2,(√13-1)/2和(3-√13)/2,(-1-√13)/2