已知锐角三角形ABC的外接圆直径AE交BC于点D,求证tanBtanC=AD:DE

题目

已知锐角三角形ABC的外接圆直径AE交BC于点D,求证tanBtanC=AD:DE

答案

连接BE,CE
则圆周角∠B=∠AEC,∠C=∠AEB,
因为：AE为直径,
所以：∠ABE=∠ACE=RT∠
所以：tan∠AEC=AC/CE,tan∠AEB=AB/BE
所以：tan∠B*tan∠C=tan∠AEC*tan∠AEB=AC/CE*AB/BE
=AC/BE*AB/CE
因为：△ACD∽△BDE,△ABD∽△CDE
所以：AC/BE=AD/BD,AB/CE=BD/DE
所以：AC/BE*AB/CE=AD/BD*BD/DE=AD/DE
所以：tan∠B*tan∠C=AD：DE