已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,求a的取值范围.

题目

已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,求a的取值范围.

答案

a∈R,函数f(x)=（x^2）/2-alnx,
方程f(x)=a恰有两个不相等的实根即（x^2）/2-alnx=a
也就是（x^2）/2-a-alnx=0恰有两个不相等的实根,
考核函数g(x)=（x^2）/2-a-alnx,函数定义域为（0,+∞）,
求导得：
g′（x)=x-(a/x),
当a≤0时,g′（x)=x-(a/x)>0,函数单调递增,对应方程不可能有两个不相等的实根；
因此a>0,此时令g′（x)=x-(a/x)=0解得：x=SQR(a)或x=-SQR(a)（不在定义域内,舍）
当x∈（SQR(a),+∞）时,g′（x)>0,函数单调递增；
当x∈（0,SQR(a））时,g′（x)1/e
所以
已知a∈R,函数f(x)=1/2x^2-alnx,若方程f(x)=a恰有两个不相等的实根,a的取值范围为（1/e,+∞）.
解起来不难,打起来太费事,