设函数f（x）=|x-1|+|x-2|． （1）画出函数y=f（x）的图象； （2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．

题目

设函数f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）画出函数y=f（x）的图象；
（2）若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．

答案

（1）f(x)＝

2x−3(x≥2) 1(1＜x＜2) 3−2x(x≤1)

（2）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）
得

|a+b|+|a−b|

|a|

≥f(x)
又因为

|a+b|+|a−b|

|a|

≥

|a+b+a−b|

|a|

＝2
则有2≥f（x）
解不等式2≥|x-1|+|x-2|
得

1

2

≤x≤

5

2

本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答时对（1）要先将原函数根据自变量的取值范围转化为分段函数，然后逐段画出图象；对（2）先结和条件a≠0将问题转化，见参数统统移到一边，结合绝对值不等式的性质找出f（x）的范围，通过图形即可解得结果．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．

考点点评：本题考查的是分段函数的解析式求法以及函数图象的作法问题．在解答过程中充分体现了分类讨论的思想、数形结合的思想、问题转化的思想．值得同学体会和反思．