一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且AM=4MB，则点M的轨迹方程是_．

题目

一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，M在线段AB上且

AM

=4

MB

，则点M的轨迹方程是______．

答案

设M（x，y），A（a，0），B（0，b）
则a²+b²=100，…①
∵

AM

=4

MB

，∴x=

1

5

a，y=

4

5

b，
由此可得a=5x且b=

5

4

y，代入①式可得25x²+

25

16

y2=100，
化简得16x²+y²=64，即为所求点M的轨迹方程．
故答案为：16x²+y²=64．

设M（x，y），A（a，0），B（0，b），根据

AM

=4

MB

，确定坐标之间的关系，代入a²+b²=100，可得结论．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程，考查向量的坐标运算、椭圆的定义与标准方程和动点轨迹的求法等知识，属于中档题．