已知：AM是△ABC中边BC上的中线,D、E分别是AB、AC上的点,且AD=AE,DE交AM于N.求证：DN×AB=EN×AC

题目

已知：AM是△ABC中边BC上的中线,D、E分别是AB、AC上的点,且AD=AE,DE交AM于N.求证：DN×AB=EN×AC

答案

延长AM至F,使MF=AM
则BF//AC,且BF=AC
∴ ∠ABF=180°-∠BAC=2∠ADE
过N作NP//BF交AB于P
∴ ∠APN=∠ABF=2∠ADE
∴ ∠PND= ∠PDN
PN：BF=AN：AF………………①
过N作NQ//CF交AC于Q
∴ ∠AQN=∠ACF=2∠AED
∴ ∠QNE= ∠QEN=∠PND= ∠PDN
QN：CF=AN：AF………………②
由①、②可得,PN：BF=QN：CF
∴ PN：QN=BF：CF……………③
∵ ∠QNE= ∠QEN=∠PND= ∠PDN
∴ △PDN∽△QEN
∴ PN：NQ=DN：NE……………④
由③、④可得：BF：CF=DN：NE
即：AC：AB=DN：NE
∴ DN×AB=EN×AC
（注,本题用面积法相当简单）