在小于400的数中约数最多的有几个约数

题目

在小于400的数中约数最多的有几个约数

答案

首先,有约数个数的计算公式:
若n的标准分解式为p1^e1·p2^e2·...·pt^et,则约数个数为(e1+1)(e2+1)...(et+1).
即约数个数只与各质因数的指数有关.
设p1 < p2 400,当有4个不同质因数时,各指数只能为1.
因此约数个数 = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 16.
当只有1个质因数时,由2⁸ = 256 < 400 < 2^9,指数最大为8.
因此约数个数 ≤ 8+1 = 9.
当恰有2个质因数时,不难得到指数最大的情况为:
2⁷·3 = 384,2⁵·3² = 288,2³·3³ = 216,约数个数分别为16,18和16.
最后讨论恰有3个质因数的情形,设为2^x·3^y·5^z,x ≥ y ≥ z.
首先由2²·3²·5² = 900 > 400,只有z = 1.
由2^(x-1)·3^(y-1) < 400/(2·3·5) = 40/3,有2^(x-1)·3^(y-1) ≤ 13.
指数最大的情形为2²·3 = 12,此时x = 3,y = 2,z = 1.
对应2³·3²·5 = 360 < 400,约数个数为(3+1)(2+1)(1+1) = 24.
综上,小于400的正整数中约数最多有24个.