为什么圆内接多边形的周长最大时是正多边形

题目

为什么圆内接多边形的周长最大时是正多边形

答案

2010-1-27 13:29 设四边形每边的圆心角分别为 2A,2B,2C,2D.原半径为R.
有 A+B+C+D=pi （3.1415926535..）
则四边分别为RcosA、RcosB、RcosC、RcosD.
周长=R（cosA+cosB+cosC+cosD）有（A+B+C+D=pi）
用一个微分方程可证,忘了什么方程了
简单方法：
设两对顶点确定,只讨论其夹两边：
有总长=R(cosA+cosB) （A+B=定值）
易证A=B时总长最大.此时两遍相等
同理可知另两边也应相等最大.
有A=B,C=D
再证A=C,方法同上面证两边一样.
于是得证.