a,b正常数a≠b,x,y∈（0,正无穷）,求证

题目

a,b正常数a≠b,x,y∈（0,正无穷）,求证
1）a²/x+b²/y=（a+b）²/(x+y),并指出等号成立的条件
2）利用以上结论求函数f(x)=2/x+9/(1-2x) x∈（0,1/2）的最小值,指出最小值x的值

答案

1）运用两个向量A=(a/√x,b/√y),B=(√x,√y),
再由swach不等式|A||B|>=A.B有|A|^2*|B|^2>=(A.B)^2,
即有(a^2/x+b^2/y)(x+y)>=(a+b)^2;等号成立当且仅当两个向量同向共线,而由题意只需共线即可,即a/x=b/y时等号成立.
2）其实受1)的提示我们可以归纳出不止两个时候有这个结论成立,任意n个都有这个结论a1^2/x1+...+an^2/xn>=(a1+...+an)^2/(x1+...+xn);等号条件是ai/xi为常值对任意的i.所以有f(x)=1/x+1/x+9/(1-2x)>=(1+1+3)^2/(x+x+1-2x)=25,等号成立条件是1/x=3/(1-2x)所以x=0.2.