a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数 b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整
题目
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数 b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整
a,b,c,d为四个任意给定的整数,求证:以下六个差数
b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
答案
证明:把这6个差数的乘积记为p,我们必须且只须证明:3与4都可以整除p,以下分两步进行.
第一步,把a,b,c,d按以3为除数的余数来分类,这样的类只有三个0、1、2,故知a,b,c,d中至少有2个除以3的余数相同,例如,不妨设为a,b,这时3可整除b-a,从而3可整除p.
第二步,再把a,b,c,d按以4为除数的余数来分类,这种类至多只有四个0、1、2、3,如果a,b,c,d中有二数除以4的余数相同,那么与第一步类似,我们立即可作出4可整除p的结论.
设a,b,c,d四数除以4的余数不同,由此推知,a,b,c,d之中必有二个奇数(不妨设为a,b),也必有二个偶数(设为c,d),这时b-a为偶数,d-c也是偶数,故4可整除(b-a)(d-c),自然也可得出4可整除p.
因此,b-a,c-a,d-a,c-b,d-b,d-c的乘积一定可以被12整除.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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