如图,已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD,其交点E到圆心O的距离为1,则AB2+CD2=_.
题目
如图,已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD,其交点E到圆心O的距离为1,则AB
2+CD
2=______.
答案
连接AO,DO,作OM⊥CD于点M,作ON⊥AB于点N,
∵DC⊥AB,OM⊥DC,ON⊥AB,
∴四边形OMEN为矩形;
∵OM
2+ME
2=OE
2(勾股定理),
又∵ME
2=ON
2∴OM
2+ON
2=OE
2;
∵OM
2=DO
2-DM
2=4-(
)
2;
又∵ON
2=OA
2-AN
2=4-(
)
2,
∴OM
2+ON
2=4-(
)
2+4-(
)
2=1,
∴AB
2+CD
2=28.
故答案是:28.
作辅助线“连接AO,DO,作OM⊥CD于点M,作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM,然后利用勾股定理和垂径定理推知,OM
2=DO
2-DM
2=4-(
)2、ON
2=OA
2-AN
2=4-(
)2,所以OM
2+ON
2=4-(
)2+4-(
)2=1,由此解得AB
2+CD
2=28.
垂径定理;勾股定理.
本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理.解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN,利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB2+CD2联系在同一个等式中,然后根据代数知识求解.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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