在棱长为1的正四面体OABC中,若点P满足向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC,且x+y+z=1,则向量OP的模的最小值是多少?说是和数形结合有关,急用

题目

在棱长为1的正四面体OABC中,若点P满足向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC,且x+y+z=1,则向量OP的模的最小值是多少?说是和数形结合有关,急用

答案

在棱长为1的正四面体OABC,设三角形ABC的重心为M
OA=OM+MA
OB=OM+MB
OC=OM+MC
向量OP=x向量OA+y向量OB+z向量OC
=(x+y+z)*向量OM+x向量MA+y向量MB+z向量MC
=向量OM+x向量MA+y向量MB+z向量MC
则 x向量MA+y向量MB+z向量MC=向量MP
M平面ABC中,则P在平面ABC中
则向量OP的模的最小值为O到平面ABC的距离
由勾股定理得OP的模的最小值为：(根号3)/6
当x=1/3 y=1/3 z=1/3 取最小值