若曲线xy=a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(  ) A.2a2 B.a2 C.2|a| D.|a|

若曲线xy=a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(  ) A.2a2 B.a2 C.2|a| D.|a|

题目
若曲线xy=a(a≠0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(  )
A. 2a2
B. a2
C. 2|a|
D. |a|
答案
设曲线xy=a(a≠0)上任意一点的坐标是P(x0,y0),
xy=a变形为y=
a
x
,求导数,得y′=-
a
x2

于是,切线的方程是y-y0=-
a
x02
(x-x0),
注意到x0y0=a,容易得出切线在x轴与y轴的截距分别是x截距=2x0
y截距=
2a
x0

于是,所求三角形的面积为2|a|.
故选:C.
设曲线xy=kaa≠0)上任意一点的坐标是P(x0,y0),对xy=a变形为y=
a
x
,结合点P的坐标,可得切线的方程,联立曲线的方程,进而可得直线在x、y轴上的截距,由三角形面积公式,计算可得答案.

定积分在求面积中的应用.

本题涉及求曲线的切线方程,解题时,一般步骤是先设变量或坐标,再求或联立;最后进行计算.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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