若曲线xy=a（a≠0），则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是（　　） A.2a2 B.a2 C.2|a| D.|a|

题目

若曲线xy=a（a≠0），则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是（　　）
A. 2a²
B. a²
C. 2|a|
D. |a|

答案

设曲线xy=a（a≠0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），
xy=a变形为y=

a

x

，求导数，得y′=-

a

x2

，
于是，切线的方程是y-y₀=-

a

x02

（x-x₀），
注意到x₀y₀=a，容易得出切线在x轴与y轴的截距分别是x_截距=2x₀，
y_截距=

2a

x0

，
于是，所求三角形的面积为2|a|．
故选：C．

设曲线xy=kaa≠0）上任意一点的坐标是P（x₀，y₀），对xy=a变形为y=

a

x

，结合点P的坐标，可得切线的方程，联立曲线的方程，进而可得直线在x、y轴上的截距，由三角形面积公式，计算可得答案．

本题考点：定积分在求面积中的应用．

考点点评：本题涉及求曲线的切线方程，解题时，一般步骤是先设变量或坐标，再求或联立；最后进行计算．