已知正方行ABCD中,Q为CD的中点,P是CQ上一点,且AP=PC+CD.求证∠BAP=2∠QAD

题目

已知正方行ABCD中,Q为CD的中点,P是CQ上一点,且AP=PC+CD.求证∠BAP=2∠QAD

答案

设M是BC中点,连BM,作MN⊥AP于N,连MP
设CD=a,PC=b,MN=x,则:
SABCD=a^2
S△ABM=AB*BM/2=a*a/2*1/2=a^2/4
S△AMP=AP*MN/2=(PC+CD)*MN/2=(a+b)x/2
S△MCP=MC*CP/2=a/2*b*1/2=ab/4
S△APD=AD*PD/2=a*(a-b)/2=(a^2-ab)/2
SABCD=S△ABM+S△AMP+S△MCP+S△APD
a^2=a^2/4+(a+b)x/2+ab/4+(a^2-ab)/2
(a^2+ab)/4=(a+b)x/2
x=a/2
所以,MN=BM=a/2
所以,AM是∠BAP的平分线
∠BAP=2∠MAB
易证,△ABM≌△ADQ
∠QAD=∠MAB
所以,∠BAP=2∠QAD