2x+3y=2xy x,y>0求2y+3x的最小值

题目

2x+3y=2xy x,y>0求2y+3x的最小值

答案

方法一(基本不等式)：
2x+3y＝2xy
→y＝2x/(2x-3).
∴2y+3x
＝2[2x/(2x-3)]+3x
＝(3/2)·(2x-3)+6/(2x-3)+13/2.
≥2√[(3/2)·(2x-3)·6/(2x-3)]+13/2
＝25/2.
∴(3/2)(2x-3)＝6/(2x-3),即x＝5/2时,
所求最小值为：25/2.
方法二(Cauchy不等式)：
2x+3y＝2xy
→3/x+2/y＝2.
∴(3x+2y)(3/x+2/y)≥(3+2)^2
→3x+2y≥25/2.
∴x＝y＝5/2时,
所求最小值为：25/2.
方法三(基本不等式)
2x+3y＝2xy
→3/x+2/y＝2
∴3x+2y
＝(1/2)·(3x+2y)·2
＝(1/2)·(3x+2y)·(3/x+2/y)
＝(1/2)(13+6x/y+6y/x)
≥13/2+2√(6x/y·6y/x)
＝25/2,
∴x＝y＝5/2时,
所求最小值为：25/2.
此外还可以用判别式法、权方和不等式等多种初等数学方法.