正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长与侧棱长都是2,D,E分别是BB1,CC1的中点. (Ⅰ)求三棱柱ABC-A1B1C1的全面积; (Ⅱ)求证:BE∥平面ADC1; (Ⅲ)求证:平面ADC1⊥平面
题目
正三棱柱ABC-A
1B
1C
1的底面边长与侧棱长都是2,D,E分别是BB
1,CC
1的中点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/cc11728b4710b912c970074fc0fdfc03934522c9.jpg)
(Ⅰ)求三棱柱ABC-A
1B
1C
1的全面积;
(Ⅱ)求证:BE∥平面ADC
1;
(Ⅲ)求证:平面ADC
1⊥平面ACC
1A
1.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0b46f21fbe096b6389bbafe10f338744eaf8ace5.jpg)
(I)解由三棱柱ABC-A
1B
1C
1是正三棱柱,且棱长均为2,
可知底面是正三角形,侧面均为正方形,
故三棱柱ABC-A
1B
1C
1的全面积
S=2××22+3×22=12+2.
(II)在正三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,因为D,E分别是BB
1,CC
1的中点,
可知
BD=BB1=CC1=EC1,又BD∥EC
1,
所以四边形BDC
1E是平行四边形,故BE∥DC
1,
又DC
1⊂平面ADC
1,BE⊄平面ADC
1,
所以BE∥平面ADC
1.
(III)取AC中点H,连接OH、BH
∵在△ACC
1中,OH是中位线
∴
OH∥ CC 1且OH=CC 1,结合BD∥CC
1且BD=
CC
1
得四边形BDOH是平行四边形
∴BH∥OD
∵BH⊥平面ACC
1A
1∴OD⊥平面ACC
1A
1
因为OD在平面ADC
1内
∴平面ADC
1⊥平面ACC
1A
1 (Ⅰ)根据题意知,正三棱柱的底面是正三角形,侧面均为正方形,因此不难计算得三棱柱ABC-A
1B
1C
1的全面积
S=2××22+3×22=12+2.
(Ⅱ)欲证直线与平面平行先找直线与直线平行,由此利用三角形的中位线定理,得出四边形BDC
1E是平行四边形,最后结合直线与平面平行的判定定理,
得到BE∥平面ADC
1;
(Ⅲ)取AC中点H,连OH、BH在△ACC
1中利用中位线定理,结合BD∥CC
1且BD=
CC
1,可证得四边形BDOH是平行四边形.最后利用OD的平行线BH与平面ACC
1A
1垂直,得到OD的与平面ACC
1A
1,根据平面与平面垂直的判定定理得到平面ADC
1⊥平面ACC
1A
1.
平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.
本题考查了平面与平面、平面与直线的平行及垂直等定理,属于中档题.解决本问题的关键是熟练利用空间线面关系、线线关系解决夹角与距离问题,主要考查学生的空间想象能力与推理论证能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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