积分证明题

题目

积分证明题
f(x)在R上连续,证明：
若f（x）为奇函数,则积分上限是x积分下限是0的f（x）的定积分是偶函数.

答案

设所求函数为F(x)= ∫f(t)dt (下限0,上限x)
则F(-x)=∫f(t)dt (下限0,上限-x)
令u=-t
则F(-x)=∫f(-u)*d(-u) (下限仍为0,上限取负则变回x)
而f(x)是奇函数,所以f(-u)=-f(u)
所以F(-x)=∫[-f(u)]*(-1)*du (下限0,上限x)
=∫f(u)du（下限0,上限x）
由此观察出,除了用u替换了t外,F(x)与F(-x)的表达式是完全一样的,且u,t作为被积分的量,它们的意义相同,因此,F(x)=F(-x),F(x)为偶函数,即原∫f(x)dx是偶函数
提醒楼主,∫号后的被积量,例如此题中的∫f(x)dx,这个式子中的x仅仅是一种被积量的表示,它可以任意替换成t,u等任意字母,而只有积分限上的x才是函数的自变量真正的代表,千万不要混淆,建议向我一上来那样把∫f(x)dx换成∫f(t)dt,这样就不容易搞混了