若a，b∈R，且（a+1）（b+1）=2，求arctana+arctanb．

题目

若a，b∈R，且（a+1）（b+1）=2，求arctana+arctanb．

答案

令α=arctana，β=arctanb．
则tanα=a，tanβ=b
∵（a+1）（b+1）=2，即（tanα+1）（tanβ+1）=2
∴化简得tanα+tanβ=1-tanαtanβ
可得tan（α+β）=

tanα+tanβ

1−tanαtanβ

=1
根据反正切函数的定义，得α=arctana∈（-

π

2

，

π

2

），β=arctanb（-

π

2

，

π

2

）
∴α+β=-

3π

4

或

π

4

即arctana+arctanb=-

3π

4

或

π

4

．

令α=arctana，β=arctanb．根据反正切的定义，得tanα=a，tanβ=b．由（a+1）（b+1）=2化简得tanα+tanβ=1-tanαtanβ，结合两角和的正切公式算出tan（α+β）=1，再由反正切函数的定义算出α+β=-

3π

4

或

π

4

，即得arctana+arctanb的值．

本题考点：反三角函数的运用．

考点点评：本题给出已知等式，求反正切函数的两个函数值的和．着重考查了两角和的正切公式和反正切函数的定义与性质等知识，属于中档题．