两道几何应用题,会得来!

题目

两道几何应用题,会得来!
1、一个凸多边形的度数按小从大排列起来,恰好依次增加相同的度数,其中最小角是100°,最大角是140°,求这个多边形的内角和.
2、工人师傅利用边角斜铺地板时,用六个形状一样的三角形拼在一起,能够无缝隙地盖住A点及周围小区域,用四个形状一样的四边形拼在一起,也能无缝隙地盖住A点及周围小区域.从上述的两种覆盖中,我们发现：要完全盖住A点及周围小区域,必须满足的条件是什么?用边长相等、各角相等的政务变形不能覆盖住A点及周围小区域的理由是什么?

答案

第一题：
设：有n个角（等同于有n条边）；
则内角和为：(n-2)*180 （度）；
又因为：由等差数列求和知：Sn=(1/2)*(a1+an)*n；
所以：此题中,该凸多边形内角和为：n*120 （度）；
联立两式易得：n=6.
第二题：
画图易知：必须有整数个正凸多边形的内角相加为360度才能恰好覆盖A及其附近；
又因为：正凸n边形内角度数为：(n-2)*180/n；
所以：由前两步联立知只有当{360/[(n-2)*180/n]}∈N*时原命题成立；
即：2n/(n-2)为正整数时成立；
n=3,4,6.
至于用边长相等、各角相等的正五边形不能覆盖住A点及周围小区域的理由,其实就是没有自然数解罢了 :)