数论题

题目

数论题
若n是自然数,和数1991^n+1992^n+1993^n+1994^n不能被10整除时,n必须满足什么条件?试说明理由.

答案

用同余的方法：
1991^n+1992^n+1993^n+1994^n≡1^n+2^n+3^n+4^n(mod10)
只须使1^n+2^n+3^n+4^n不被10整除.
显然：1^n+2^n+3^n+4^n是一个偶数.
只须使1^n+2^n+3^n+4^n不被5整除.
1^n≡1(mod5)
2^4≡1(mod5),2^(4k+s)≡2^s(mod5)
3^4≡1(mod5),3^(4k+s)≡3^s(mod5)
4^2≡1(mod5),4^(4k+s)≡4^s(mod5)
【s代表n除以4的余数,0