二阶常系数非齐次线性方程y``+4y`=sin2t怎么解

题目

二阶常系数非齐次线性方程y``+4y`=sin2t怎么解
特解应该是设什么,是设Atsin2t+Btcos2t?
还是Atsin2t+Bcos2t?
题目错了是y``+4y=sin2t

答案

二阶常系数非齐次线性方程的特解应当这样来设,
对于
y" +py' +qy=f(t),
若f(t)=e^(at) * [c1*cos(bt)+ c2*sin(bt)],
则设特解y*=t^k * e^(at) * [d1*cos(bt)+ d2*sin(bt)],
其中k表示的是a+bi是对应齐次方程的k重特征根,
显然对于这个方程y"+4y=sin2t,
其对应的齐次方程y"+4y=0,
特征根为2i和-2i,
而f(t)=sin2t,
对应f(t)=e^(at) * [c1*cos(bt)+ c2*sin(bt)],
就可以得到a=0,b=2
而a+bi =2i 就是 对应的齐次方程y"+4y=0的1重特征根,
即k=1,
所以设特解y*= t* (Acos2t+ Bsin2t),
求导得到y'=Acos2t+ Bsin2t + t*(-2Asin2t+2Bcos2t)
y"= -2Asin2t+2Bcos2t -2Asin2t+2Bcos2t + t*(-4Acos2t -4Bsin2t)
= -4Asin2t+4Bcos2t -4t*(Acos2t+ Bsin2t),
故
y"+4y= -4Asin2t+4Bcos2t
与sin2t 比较系数,
解得A= -1/4,B=0,
故特解y*= -1/4 * t cos2t
所以此微分方程的解为：
y=Acos2t +Bsin2t - 1/4 * t cos2t （A、B为常数）