常微分方程的证明题、急用、在线等

常微分方程的证明题、急用、在线等

题目
常微分方程的证明题、急用、在线等
对于二阶线性方程x"+p(t)x'+q(t)x=0,其中p(t)、q(t) 为连续函数.证明刘维尔公式

(其中x1为方程的非零解).提示:可利用变换x=x1∫zdx
答案
刘维尔公式的证明:
当已知二线性阶方程x"+p(t)x'+q(t)x=0的一个非零解x1,我们可以引入一个新的未知函数∫zdx,
令x=x1*∫zdx,则有:
x' =x1*(z)+ (x1') *∫zdx ······················································(1)
x''=x1*(z')+2*(x1')*(z)+(x1'')*∫zdx········································(2)
将(1)(2)代入二阶线性方程,得:
x1*(z') +[2*(x1')+P(t)*x1]*z +[(x1'')+P(t)*(x1')+q(t)*x1]*(∫zdx)=0
由于x1是二阶线性方程的解,故:(x1'')+P(t)*(x1')+q(t)*x1=0
方程可以化为一阶齐次线性方程:x1*(dz/dt)+[2*(x1')+P(t)*x1]z=0·············(3)
用分离变量法可以得到(3)式的通
z=(C2/x1^2)*e^(-∫p(t)dt)·······················(4)
所以 ∫zdx= C1 +C2*[∫(1/x1^2)*(e^(-∫p(t)dt))dt]
所以 x= x1*∫zdx=x1*[C1 +C2*[∫(1/x1^2)*(e^(-∫p(t)dt))dt]]
至此得证
【分析:此题的关键就是猜测到解的形式是x=x1∫zdx.】
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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