如图：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=A1A，AC=BC，点D、E分别为C1C、AB的中点，O为A1B与AB1的交点． （Ⅰ）求证：EC∥平面A1BD； （Ⅱ）求证：AB1⊥平面A1BD．

题目

如图：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=A₁A，AC=BC，点D、E分别为C₁C、AB的中点，O为A₁B与AB₁的交点．

（Ⅰ）求证：EC∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥平面A₁BD．

答案

（1）∵O是A₁B与AB₁的交点，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁A，AC=BC，
∴O为A₁B的中点，
在△A₁BA中，∵E为AB中点，
∴EO平行A₁A，EO=

A1A

2

，且EO垂直AB，
∵D为C₁C的中点，
∴DC=

C1C

2

=

A1A

2

=EO，
∵EO∥DC，且EO=DC，EO垂直AB，
∴四边形EODC为矩形，
∴EC∥OD，且EC=OD，
∵OD⊂平面A₁BD，
EC⊄平面A₁BD，
∴EC∥平面A₁BD．
（2）∵四边形EODC为矩形，∴OD⊥OE，
∵AC=BC，E为AB中点，∴EC⊥AB，
∴OD⊥AB，
∴OD⊥平面ABB₁A₁，
∴OD垂直AB₁，
∵AB=A₁A，∴侧面ABB₁A₁为正方形，
∴AB₁⊥A₁B，
∵A₁B与OD都在平面A₁BD上，A₁B∩OD=O，
∴AB₁⊥平面A₁BD．