如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D． （1）求证：AC=DB； （2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．

题目

如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D．

（1）求证：AC=DB；
（2）如果AB=6cm，CD=4cm，求圆环的面积．

答案

（1）过点O作OE⊥AB于E，
∴AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，
∴AC=BD；
（2）连接OA，OC，
在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE²=OA²-AE²，OE²=OC²-CE²，
∴OA²-AE²=OC²-CE²，
∴OA²-OC²=AE²-CE²，
∵AB=6cm，CD=4cm，
∴AE=3cm，CE=2cm，
∴OA²-OC²=5，
∴圆环的面积为：πOA²-πOC²=π（OA²-OC²）=5π．