求适合下列条件的双曲线的标准方程

题目

求适合下列条件的双曲线的标准方程
1.双曲线经过点(3,9√2),离心率e=√10/3
2.2焦点在y轴上,且过点（3,-4√2）、(9/4,5)

答案

1,当焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1,
由e=c/a=√10/3,得：c=√10/3*a ,所以 c^2=a^2+b^2=10/9*a^2,a^2=9b^2；
将点(3,9√2)代入双曲线的标准方程,得：9/a^2-162/b^2=1.(1),
将a^2=9b^2代入(1),得：1/b^2-162/b^2=1 ,b^2=-161,方程无解；
当焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为：y^2/a^2-x^2/b^2=1,
由e=c/a=√10/3,得：c=√10/3*a,所以 c^2=a^2+b^2=10/9*a^2,a^2=9b^2；
将点(3,9√2)代入双曲线的标准方程,得：162/a^2-9/b^2=1.(2),
将a^2=9b^2代入(2),得：18/b^2-9/b^2=1 ,b^2=9,
所以a^2=9b^2=81,
综上可知：双曲线的标准方程为：y^2/81-x^2/9=1.
故所求双曲线的标准方程为：y^2/81-x^2/9=1.
2,焦点在y轴上,设双曲线的标准方程为：y^2/a^2-x^2/b^2=1,
将点(3,-4√2),(9/4,5)代入双曲线的标准方程,得：
32/a^2-9/b^2=1,
25/a^2-81/16b^2=1 ,
解方程组,得：a^2=16,b^2=9.
故所求双曲线的标准方程为：y^2/16-x^2/9=1.