如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证: (1)BQ=CQ; (2)BQ+AQ=AB+BP.

如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证: (1)BQ=CQ; (2)BQ+AQ=AB+BP.

题目
如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q分别在BC、CA上,并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线.求证:

(1)BQ=CQ;   
(2)BQ+AQ=AB+BP.
答案
证明:(1)∵BQ是∠ABC的角平分线,
∴∠QBC=
1
2
∠ABC.
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,且∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠ABC=80°,
∴∠QBC=
1
2
×80°
=40°,
∴∠QBC=∠C,
∴BQ=CQ;
(2)延长AB至M,使得BM=BP,连结MP.
∴∠M=∠BPM,
∵△ABC中∠BAC=60°,∠C=40°,
∴∠ABC=80°,
∵BQ平分∠ABC,
∴∠QBC=40°=∠C,
∴BQ=CQ,
∵∠ABC=∠M+∠BPM,
∴∠M=∠BPM=40°=∠C,
∵AP平分∠BAC,
∴∠MAP=∠CAP,
在△AMP和△ACP中,
∠M=∠C
∠MAP=∠CAP
AP=AP

∴△AMP≌△ACP,
∴AM=AC,
∵AM=AB+BM=AB+BP,AC=AQ+QC=AQ+BQ,
∴AB+BP=AQ+BQ.
(1)由三角形的内角和就可以得出∠ABC=80°,再由角平分线就可以得出∠QBC=40°,就有∠QBC=∠C而得出结论;
(2)延长AB至M,使得BM=BP,连结MP,根据条件就可以得出∠M=∠C,进而证明△AMP≌△ACP就可以得出结论.

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