矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足． ①求△ABM的面积； ②求DE的长； ③求△ADE的面积．

题目

矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．

①求△ABM的面积；
②求DE的长；
③求△ADE的面积．

答案

①∵M是BC的中点，BC=6，
∴MB=3，
∵AB=4，
∴△ABM的面积=

1

2

×AB×BM=

1

2

×4×3=6；
②∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AMB，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=90°，
∴△ADE∽△MAB，
∵AB=4，BM=3，
∴AM=5，
∴AE：MB=AD：AM=DE：AB，
∴AE=3.6，DE=4.8．
③△ADE的面积=

1

2

×AE×DE=

1

2

×3.6×4.8=8.64．

①由M是BC的中点可得BM长度，那么△ABM的面积=

1

2

×AB×BM，把相关数值代入即可求解；
②由勾股定理易得AM长，可证得△ADE∽△MAB，那么利用对应边比等于相似比可求得DE长；
③由相似可得AE的长，那么△ADE的面积=

1

2

×AE×DE，把相关数值代入即可求解．

本题考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理．

考点点评：解决本题的关键是利用相似三角形对应边成比例的性质求得所求三角形的长与宽．