设A,B,C,D是数域F上n阶方阵,且AC = CA.求证：行列式| (A,B)；(C,D) | = | AD - CB|

题目

设A,B,C,D是数域F上n阶方阵,且AC = CA.求证：行列式| (A,B)；(C,D) | = | AD - CB|
A,B在同一行,C在A正下方,D在B正下方,有点儿像二阶行列式.
过程可能不太好写，只有思路能看懂也行

答案

当 |A|=0时,
令 f（x）= |xE+A|,f(x)是次数不超过n的多项式,定有无数x使f(x)≠0
用 xE+A 替换原来A的位置,因为无数x满足条件,所以是恒等式,取x=0即得证.