数列{an}满足a1=1，_an＝an−1an−1+2(n≥2)，则使得ak＞12009的最大正整数k为（　　） A.5 B.7 C.8 D.10

题目

数列{a_n}满足a₁=1，_an＝

an−1

an−1+2

(n≥2)，则使得a_k＞

1

2009

的最大正整数k为（　　）
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10

答案

由_an＝

an−1

an−1+2

(n≥2)，得
a_na_n-1+2a_n=a_n-1，
即1+

2

an−1

＝

1

an

，
∴

1

an

+1＝2(

1

an−1

+1)（n≥2），
∴数列{

1

an

+1}构成以

1

a1

+1＝2为首项，以2为公比的等比数列．
则

1

an

+1＝2n，
an＝

1

2n−1

．
由a_k＞

1

2009

，得

1

2k−1

＞

1

2009

，
即2^k＜2010．
∵k为正整数，
∴k的最大值为10．
故选：D．

由数列递推式得到数列{

1

an

+1}构成以

1

a1

+1＝2为首项，以2为公比的等比数列，由此求出数列{a_n}的通项公式后结合a_k＞

1

2009

求得最大正整数k的值．

本题考点：数列递推式．

考点点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了不等式的解法，是中档题．