已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.

已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.

题目
已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,求a、b、c的值.
答案
∵f(1)=1,∴a+b+c=1.
又f′(x)=2ax+b,
∵f′(2)=1,∴4a+b=1.
又切点(2,-1),∴4a+2b+c=-1.
把①②③联立得方程组
a+b+c=1
4a+b=1
4a+2b+c=−1.
解得
a=3
b=−11
c=9

即a=3,b=-11,c=9.
先求函数y=ax2+bx+c的导函数f′(x),再由题意知函数过点(1,1),(2,-1),且在点(2,-1)处的切线的斜率为1,即f′(2)=1,分别将三个条件代入函数及导函数,解方程即可

利用导数研究曲线上某点切线方程;抛物线的简单性质.

本题考察了导数的几何意义及其应用,利用方程的思想求参数的值

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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