向量ABC,AXB+BXC+AXC=0,求证ABC共面

题目

向量ABC,AXB+BXC+AXC=0,求证ABC共面
要证[ABC]=0.

答案

设向量N⊥A,N⊥B,C=xA+yB+zN
AXC=0+yA×B+A×N;叉乘满足分配律,记的时候联想合力做功.
AXB+BXC+AXC=（1-x+y）A×B+z（A+B）×N=0;
A×B方向垂直AB构成的面,z(A+B)×N方向平行于AB构成的面所以z=0,
C=xA+yB,所以ABC共面.