过点P任作直线交定圆于两点A、B,证明PA·PB为定值

题目

过点P任作直线交定圆于两点A、B,证明PA·PB为定值

答案

过O作OC⊥AB于C,
根据垂径定理：AC=BC,
∴PC^2=OP^2-OC^2
OC^2+AC^2=OA^2
又PA*PB=(PC-AC)(PC+BC)=PC^2-AC^2,
=OP^2-OC^2-AC^2
=OP^2-OA^2,
∵点P与⊙O的定点及定圆,
∴OP一定,OA一定,
∴PA*PB为定值.