已知函数f(x)=a-1/丨x丨(1)求证函数f(x)在(0,∞)上是增函数（2）若f(x)＜2x在（1,+∞）上恒成立求a的范围

题目

已知函数f(x)=a-1/丨x丨(1)求证函数f(x)在(0,∞)上是增函数（2）若f(x)＜2x在（1,+∞）上恒成立求a的范围
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答案

①在(0,∞)上时,f(x)=a-1/丨x丨=a-1/x
令x2>x1>0 ,则 f（x2）-f（x1） =1/x1-1/x2 =(x2-x1)/（x1x2）
因为x2>x1>0 ,即x2-x1>0,x1x2>0,所以(x2-x1)/（x1x2）>0,即f（x2）-f（x1）>0 所以f（x）在(0,∞)上是增函数.
②f(x)x1
则 g（x2）-g（x1） =2x2-1/x1+2x1-1/x2 =(x2-x1)(2x1x2-1)/(x1x2）
又 x2>x1>1 ,即x2-x1>0,2x1x2-1>0
所以g（x2）-g（x1）>0
g（x）在（1,+∞）上为增函数
所以g（x）>g(1)=3
a≤g(1)=3
即 a≤3