如图，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形． （1）求∠ACE的度数． （2）求AF的长．

题目

如图，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形．

（1）求∠ACE的度数．
（2）求AF的长．

答案

（1）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBE=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE=BC，∠BCA=45°，
∴∠BCE=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠ACE=∠BCE-∠BCA=30°；
（2）作FH⊥AB于H，
设BH=x，则BF=2x，FH=

3

x=AH．
∴x+

3

x=2，
∴x=

3

-1，
∴AH=

3

(

3

-1)，
AF=

2

AH=

6

(

3

-1)=3

2

-

6

．

（1）根据正方形的性质和等边三角形的性质可得∠CBE=30°，∠BCA=45°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BCE的度数，再根据角的和差关系即可求解；
（2）作FH⊥AB于H，设BH=x，则BF=2x，根据三角函数可得FH=

3

x=AH，可得AH的长，再根据勾股定理可得AF的长．

本题考点：勾股定理；等边三角形的性质；正方形的性质．

考点点评：考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角函数和勾股定理，关键是作出辅助线，构造直角三角形．