在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),满足向量AnAn+1与向量BnCn共线,且点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上,若a1=
题目
在平面直角坐标系中,已知A
n(n,a
n)、B
n(n,b
n)、C
n(n-1,0)(n∈N
*),满足向量
与向量
共线,且点B
n(n,b
n)(n∈N
*)都在斜率为6的同一条直线上,若a
1=6,b
1=12.求:
(1)数列{a
n}的通项a
n;
(2)数列{
}的前n项和T
n.
答案
(1)∵点B
n(n,b
n)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上,
∴
=6,
即b
n+1-b
n=6,
于是数列{b
n}是等差数列,
故b
n=12+6(n-1)=6n+6.
∵
=(1,an+1-an),=(-1,-bn),又与共线.
∴1×(-b
n)-(-1)(a
n+1-a
n)=0,
即a
n+1-a
n=bn
∴当n≥2时,a
n=a
1+(a
2-a
1)+(a
3-a
2)+…+(a
n-a
n-1)=a
1+b
1+b
2+b
3+…+b
n-1=a
1+b
1(n-1)+3(n-1)(n-2)=3n(n+1)
当n=1时,上式也成立.
所以a
n═3n(n+1).
(2)
=(-),
Tn=(1-+-+…+-)=
(1-)=.
(1)先根据点B
n(n,b
n)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上,得出
=6,即b
n+1-b
n=6,从而得出数列{b
n}是等差数列,结合向量共线条件得出a
n+1-a
n=bn最后利用分组求和的方法即可求得数列{a
n}的通项a
n;
(2)由于
=(−),利用逐差求和法即可求得数列{
}的前n项和T
n.
数列与向量的综合;数列的求和;数列递推式.
本题考查了等比数列的定义,通项公式及前n项和公式、数列与向量的综合,综合运用了逐差求和法和分组求和法,难度一般.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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