如图所示,在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点K、L、M、N,使AK=CM、BL=DN. 求证:四边形KLMN为平行四边形.
题目
如图所示,在平行四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上,分别取点K、L、M、N,使AK=CM、BL=DN.
求证:四边形KLMN为平行四边形.
答案
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∠A=∠C.
∵BL=DN,
∴CL=AN,
在△AKN和△CML中,
,
∴△AKN≌△CML(SAS),
∴KN=ML.
同理证得△BKL≌△DMN,
∴KL=MN,
∴四边形KLMN为平行四边形.
利用全等三角形的判定定理SAS分别证得△AKN≌△CML、△BKL≌△DMN,然后根据全等三角形的对应边相等推知四边形KLMN的两组对边相等:KN=ML,KL=MN;最后由“有两组对边相等的四边形是平行四边形”证得结论.
平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
举一反三
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