一道等差等比转化题

题目

一道等差等比转化题
已知数列a1、a2、…,an是各项均不为零的等差数列（n≥4）,且公差d≠0,若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.
（1）当n=4时,求a1/d的值；（2）求n的所有可能值.

答案

（1)当n＝4时
有a1,a2,a3,a4.
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列.
如果删去a1,或a4,则等于有3个项既是等差又是等比.
可以证明在公差不等于零的情况下不成立
(a-d):a=a:(a+d)
a^2=a^2-d^2
所以d=0
可以知道删去的是a2或a3.
如果删去的是a2
a1:a3=a3:a4
a1(a1+3d)=(a1+2d)^2
3a1d=4a1d+4d^2
4d^2+a1*d=0
4d+a1=0
a1/d=-4.
如果删去的是a3
a1:a2=a2:a4
a1(a1+3d)=(a1+d)^2
3a1d=2a1d+d^2
a1*d=d^2
a1=d
a1/d=1.
可得a1/d=-4或1.
(2)n=5时,由(1)知道,a1.a5不能删.
如果删去a2,
则a3,a4,a5既是等差又是等比,不成立.
同样a4不能删.
如果删去a3
a1:a2=a4:a5
a1*a5=a2*a4
(a3-2d)(a3+2d)=(a3-d)(a3+d)
a3^2-4d^2=a3^2-d^2
不成立.
所以n只能为4.