设当x>0时,f(x)可导,且满足方程f(x)=1+1/x ∫f(t)dt{上限x下限1},求f(x)

题目

设当x>0时,f(x)可导,且满足方程f(x)=1+1/x ∫f(t)dt{上限x下限1},求f(x)

答案

记g(x)= ∫f(t)dt{上限x下限1},
则g'(x)=f(x)
f(x)=1+1/x* g(x)
去分母：xf(x)=x+g(x)
求导：f(x)+xf'(x)=1+g'(x)
得：f(x)+xf'(x)=1+f(x)
得：f'(x)=1/x
积分得：f(x)=lnx+c