少年科技组制成一台单功能计算机,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是：输入第一个整数x1,只显示不运算,接着再输入整数x2后则显示︱x1-x2︱的结果,此后每输入一个整数都是与前

题目

少年科技组制成一台单功能计算机,对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算,其运算过程是：输入第一个整数x1,只显示不运算,接着再输入整数x2后则显示︱x1-x2︱的结果,此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算.现将小明将1到1991这1991个整数随意地一个一个地输入,全部输入完毕后显示的最后结果设为p,试求出p的最大值,并说明理由.

答案

设a(1),a(2),...,a(1991)为1,2,..,1991的一个排列.
设b(1)=a(1),
b(2)=|a(2)-b(1)|,
b(k)=|a(k)-b(k-1)|.
你的问题是b(1991)=|a(1991)-b(1990)|最大是多少?
1.
用数学归纳法证明:b(k)≤1991
ⅰ.
k=1,命题显然成立.
ⅱ.
设b(k)≤1991
b(k+1)=|a(k+1)-b(k)|
0≤a(k+1),b(k)≤1991
==>
b(k+1)≤1991
所以所有b(k)≤1991,其中
b(1991)≤1991.
2.
用反证法证明:b(1991)<1991.
设b(1991)=1991=|a(1991)-b(1990)|
==>
a(1991)=1991,b(1990)=0
而b(1990)=±a(1)±a(2)±...±a(1990),其中有k项为正,
所以b(1990)=
=a(u1)+..+a(uk)-a(u(k+1))-...-a(u1990)=
=[1+2+..+1990]-2[a(u(k+1))+...+a(u1990)]=
=1991*995-2[a(u(k+1))+...+a(u1990)]
==>
b(1990)是奇数和b(1990)=0矛盾.
所以b(1991)<1991.
3.
由于|k-|k+1-|(k+2)-(k+3)|||=0.
设a(k)=1991-k,1≤k≤1990,
a(1991)=1991.
==>
b(4k)=0
==>
b(1988)=0,
b(1989)=|a(1989)-b(1988)|=|2-0|=2,
b(1990)=|a(1990)-b(1989)|=|1-2|=1
==>
b(1991)=|a(1991)-b(1990)|=|1991-1|=1990.
所以显示结果的最大值是1990.