a^2+b^2=c^2,c=ab/3-a-b,求正整数解

题目

a^2+b^2=c^2,c=ab/3-a-b,求正整数解

答案

令a+b=x
ab=y
x^2-2y=c^2 (1)
c=y/3-x (2)
x=y/3-c
y^2/9-2cy/3-2y=0
由于y>0所以,
y=6c+18
x=c+6
由于(a-b)^2=x^2-4y=c^2+12c+36-24c-72>0且是完全平方数.
即(c-6)^2-72=k^2
72=(c+k-6)(c-k-6)
因为c,k皆为正整数,故有.
c-k-6=2
c+k-6=36
或
c-k-6=4
c+k-6=18
或
c-k-6=6
c+k-6=12
解之得
c1=25,则对应的a,b为(24,7)
c2=17,则对应的a,b为(15,8)
c3=15,则对应的a,b为(12,9)